요인배치법

요인 배치법과 교호작용

실제 공정에서는 여러 요인이 동시에 결과에 영향 (예: 열처리 온도와 시간)
요인 배치법 (Factorial Design)
- 두 개 이상의 요인을 동시에 변화시키며 실험하는 설계 방법
- 각 요인의 주 효과(Main Effect)는 물론, 요인들이 결합되었을 때 나타나는 교호작용(Interaction) 효과까지 파악할 수 있음

직교성이란 각 요인의 효과를 서로 독립적으로, 섞임 없이(confounding) 추정할 수 있는 설계의 성질
- 실험 계획 행렬에서 어떤 두 열(요인)을 골라 곱한 값의 합이 0이 되면, 두 요인은 직교
주요 특징:
- 독립적 추정: 서로 다른 요인의 효과를 독립적으로 추정(분석에 요인을 추가하거나 제거하더라도 나머지 요인의 추정된 계수가 변하지 않음)
- 비상관 요인: 설계 행렬의 열은 서로 상관 관계가 없음(다중 공선성 최소화)
- 효율성: 주 효과를 추정하는 데 필요한 실행 횟수 측면에서 일반적으로 효율적임

관심 있는 모든 요인들의 모든 수준 조합을 전부 실험하는 방법
- $2^k$ 요인 설계: k개의 요인을 각각 2개의 수준(e.g., 낮음/높음)으로 실험하는 설계
예시: $2^2$ $2^{2}$ 설계 (2요인 2수준)
- 온도(-1, 1)와 압력(-1, 1)이 미치는 영향을 보기 위해 가능한 4가지 조합을 모두 실험
  1. 온도 낮음, 압력 낮음
  2. 온도 높음, 압력 낮음
  3. 온도 낮음, 압력 높음
  4. 온도 높음, 압력 높음
장점과 단점
- 장점: 모든 주 효과와 모든 교호작용을 명확하게 분석할 수 있음
- 단점: 요인 수가 증가하면 실험 횟수가 기하급수적으로 폭발합

!pip install pyDOE3

import pyDOE3 as doe

LEVELS = [2, 3]  # 첫번째 요인은 2 수준, 두번째 요인은 3 수준
doe.fullfact(LEVELS)

doe.ff2n(3)

완전 요인 배치법의 실험 횟수가 너무 많을 때, 실험의 일부만 수행하여 자원과 시간을 절약하는 방법
부분 요인 배치법( $2^{k-p}$ $2^{k - p}$ ):
- 요인이 5개일 경우 완전 요인 배치법: $2^5=32$ 회 실험
- 절반( $p=1$ )인 16회( $2^{5-1}$ )
- 1/4( $p=2$ )인 8회( $2^{5-2}$ )만 실험
어떻게 가능한가?: 효과의 희소성 원리
- 효과의 희소성(Sparsity of Effects) 원리에 따르면, 대부분의 공정 결과는 소수의 주 효과와 낮은 차수의 교호작용(e.g., 2-요인 교호작용)에 의해 지배됩니다.
- 3-요인 이상의 고차 교호작용은 대부분 무시할 수 있을 만큼 작습니다.

교락(Confounding): 실험 횟수를 줄이는 과정에서, 두 개 이상의 효과(예: 주 효과와 교호작용)가 서로 섞여서 통계적으로 분리하여 추정할 수 없게 되는 현상
부분 요인 배치법은 완전 요인 설계에서 의도적으로 일부 실험 조합을 생략하기 때문에 교락 발생
Alias Structure: 어떤 효과가 다른 어떤 효과와 섞여 있는지를 나타내는 관계
예시: $2^{3-1}$ $2^{3 - 1}$ 설계 (4회 실험)
- 요인 C를 교호작용 AB와 동일하게 설정 (C = AB)
- 이때 A = BC, B = AC의 교락 관계가 형성
  - C는 AB와 교락 (C = AB)
효과의 희소성 원리에 따라, 2차 이상의 고차 교호작용(BC, AC, AB 등)은 그 영향이 거의 없거나 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정하에 진행
- 위 가정이 맞지 않으면 분석에 오류

시나리오: 5개의 2수준 요인(A, B, C, D, E)이 제품 수율에 미치는 영향을 파악하고자 함
- 완전 요인 설계 시 $2^5 = 32$ 회의 실험 필요
- 시간과 비용 절감을 위해 실험 횟수를 절반(16회)으로 줄이는 부분 요인 배치법( $2^{5-1}$ ) 적용 결정
pyDOE3를 이용한 설계 생성:
- 이 설계에서는 5번째 요인(E)이 A, B, C, D의 교호작용(ABCD)과 동일하게 설정됨 (E = ABCD)
- 4차 교호작용은 드물기 때문에 어느 정도 안전한 가정

doe.fracfact("a b c d abcd")

design, alias_map, alias_cost = doe.fracfact_opt(5, 1)
design